지금 수험생 커뮤에서 오류 아니냐고 말나온다는 문제

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익명
등록일 : 2024-06-04 15:40:21 | 글번호 : 397076 | 0
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오늘자 6월 평가원 모의고사
출처 : 고려대학교 고파스 2024-06-28 10:31:51:

댓글수 18

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베스트 댓글 1 익명 2024-06-04 16:11:53

고등학교 교과서에서 함수의 정의역에 특별한 언급 없으면 "함수가 정의되는 모든 실수"를 정의역으로 한다고 하고있으니... 당연히 x는 실수지 뭔 생각들함??? 이라고 발표할듯.....

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베스트 댓글 2 익명 2024-06-04 16:02:00

아 집합에 실근 조건없어서 근이 4개된다네요

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댓글 1 익명 2024-06-04 15:42:56

Chat gpt가 방금 풀어준것

문제를 풀기 위해서는 몇 가지 단계를 따라야 합니다. 주어진 조건을 이해하고 그에 맞는 함수 \( f(x) \)를 찾아야 합니다. 문제를 단계별로 풀어보겠습니다.

### 조건 정리

1. \( f'(a) \leq 0 \)인 실수 \( a \)의 최대값은 2이다.
2. 집합 \(\{ x \mid f(x) = k \}\)의 원소의 개수가 3 이상이 되도록 하는 실수 \( k \)의 최소값은 \(\frac{8}{3}\)이다.
3. \( f(0) = 0 \)
4. \( f'(1) = 0 \)
5. \( f(3) \)의 값을 구하시오.

### 조건 (1) 분석

\( f'(a) \leq 0 \)인 실수 \( a \)의 최대값이 2라는 것은, \( x = 2 \)에서 \( f(x) \)의 그래프가 최댓값을 가지며, \( x 〉 2 \)에서는 \( f'(x) 〉 0 \)임을 의미합니다. 즉, \( x = 2 \)에서 국소 최대값을 가집니다.

### 조건 (2) 분석

집합 \(\{ x \mid f(x) = k \}\)의 원소의 개수가 3 이상이 되도록 하는 \( k \)의 최소값이 \(\frac{8}{3}\)라는 것은 \( f(x) = k \)인 \( k \)값이 최소 \(\frac{8}{3}\)일 때, \( x \)의 값이 최소 3개 이상이어야 합니다.

### 조건을 만족하는 함수 \( f(x) \)

조건을 만족하는 \( f(x) \)는 3차 함수여야 합니다. 최고차항의 계수가 1이므로 \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) 형태를 가질 것입니다.

#### 1. \( f'(x) = 0 \)일 때 \( x = 1 \)
\( f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \)이므로, \( f'(1) = 0 \)를 만족하는 \( a \)와 \( b \)를 찾습니다.

\[ 3(1)^2 + 2a(1) + b = 0 \]
\[ 3 + 2a + b = 0 \]
\[ b = -3 - 2a \]

#### 2. \( f(x) \)가 \( x = 2 \)에서 최댓값
\( f'(2) = 0 \)
\[ 3(2)^2 + 2a(2) + b = 0 \]
\[ 12 + 4a + b = 0 \]

\( b = -3 - 2a \)를 대입하면
\[ 12 + 4a - 3 - 2a = 0 \]
\[ 9 + 2a = 0 \]
\[ a = -\frac{9}{2} \]
\[ b = -3 - 2(-\frac{9}{2}) \]
\[ b = -3 + 9 \]
\[ b = 6 \]

#### 3. \( f(0) = 0 \)로 \( c \) 구하기
\[ f(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x + c \]
\[ f(0) = 0 \]
\[ c = 0 \]

따라서, \( f(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x \)입니다.

### \( f(3) \) 값 구하기
\[ f(3) = 3^3 - \frac{9}{2}(3)^2 + 6(3) \]
\[ f(3) = 27 - \frac{9}{2}(9) + 18 \]
\[ f(3) = 27 - 40.5 + 18 \]
\[ f(3) = 4.5 \]

따라서, \( f(3) = 4.5 \)입니다. :

댓글 2 익명 2024-06-04 15:46:07

1/ 엣 이거보니까 얘는 f(x)가 3차함수인데요 :

댓글 3 익명 2024-06-04 15:46:40

이렇게만 올리시면 직접 풀어봐야 공감하잖아요

댓글 4 익명 2024-06-04 15:47:56

-9? :

댓글 5 익명 2024-06-04 15:49:27

2/ 저 안읽어보고 그냥 풀어달라그런건데
챗지피티 못쓰겠네여 :

댓글 6 익명 2024-06-04 15:49:39

15? :

댓글 7 익명 2024-06-04 15:50:56

다시풀어달라고함!!!
문제에서 함수 \( f(x) \)가 사차 함수라고 명시되어 있으므로, \( f(x) \)를 사차 함수로 가정하고 문제를 다시 풀어보겠습니다. 사차 함수의 일반적인 형태는 \( f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d \)입니다. 주어진 조건을 만족하도록 이 함수의 계수를 구해야 합니다.

### 조건 정리

1. \( f'(a) \leq 0 \)인 실수 \( a \)의 최대값은 2이다.
2. 집합 \(\{ x \mid f(x) = k \}\)의 원소의 개수가 3 이상이 되도록 하는 실수 \( k \)의 최소값은 \(\frac{8}{3}\)이다.
3. \( f(0) = 0 \)
4. \( f'(1) = 0 \)
5. \( f(3) \)의 값을 구하시오.

### 1. \( f'(a) \leq 0 \)인 실수 \( a \)의 최대값은 2이다

이 조건은 \( x = 2 \)가 국소 최대값을 갖는다는 의미입니다. \( f'(x) = 0 \)일 때 \( x = 2 \)에서 그래프의 접선이 수평이 됩니다.

### 2. \( f'(1) = 0 \) 조건

이 조건은 \( x = 1 \)에서도 접선이 수평이라는 것을 의미합니다.

### 3. \( f(0) = 0 \) 조건

### 사차 함수의 미분

\[ f'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c \]

#### 조건을 적용하여 계수 찾기

1. \( f'(1) = 0 \):
\[ 4(1)^3 + 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 0 \]
\[ 4 + 3a + 2b + c = 0 \]
\[ 3a + 2b + c = -4 \] (식 1)

2. \( f'(2) = 0 \):
\[ 4(2)^3 + 3a(2)^2 + 2b(2) + c = 0 \]
\[ 32 + 12a + 4b + c = 0 \]
\[ 12a + 4b + c = -32 \] (식 2)

3. \( f(0) = 0 \):
\[ d = 0 \]

### 해결
식 1과 식 2를 연립하여 \( a \), \( b \), \( c \)를 구합니다.

식 1에서 \( c \)를 구합니다:
\[ c = -4 - 3a - 2b \]

이것을 식 2에 대입합니다:
\[ 12a + 4b - 4 - 3a - 2b = -32 \]
\[ 9a + 2b = -28 \] (식 3)

식 3을 \( b \)에 대해 정리합니다:
\[ 2b = -28 - 9a \]
\[ b = -14 - \frac{9}{2}a \]

이를 다시 식 1에 대입합니다:
\[ 3a + 2(-14 - \frac{9}{2}a) + c = -4 \]
\[ 3a - 28 - 9a + c = -4 \]
\[ -6a - 28 + c = -4 \]
\[ c = 6a + 24 \]

이제 \( a \), \( b \), \( c \)를 모두 구했습니다:
\[ c = 6a + 24 \]
\[ b = -14 - \frac{9}{2}a \]

### 함수 완성 및 \( f(3) \) 계산

\[ f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx \]

### 주어진 조건 적용
\( f(0) = 0 \)은 이미 반영되어 있습니다. 이제 \( f(3) \)를 계산합니다:
\[ f(3) = 3^4 + a(3)^3 + b(3)^2 + c(3) \]
\[ f(3) = 81 + 27a + 9b + 3c \]

이제 \( a \), \( b \), \( c \)를 대입하여 계산합니다:
\[ a = -4 \]
\[ b = -14 - \frac{9}{2}(-4) = -14 + 18 = 4 \]
\[ c = 6(-4) + 24 = -24 + 24 = 0 \]

따라서:
\[ f(3) = 81 + 27(-4) + 9(4) + 3(0) \]
\[ f(3) = 81 - 108 + 36 \]
\[ f(3) = 9 \]

### 최종 결과
\[ f(3) = 9 \]

즉, \( f(3) \)의 값은 9입니다. :